Störningsräkning

"Golden Rule"

övergångs sannolikheten per tidsenhet

w_{f\leftarrow i}

för en övergång från tillståndet

\bm\psi_i

till en grupp av tillstånd

F = \{\bm\psi_f\}

med energin

\sin E_i^0

för ett system karaktäriserat av tillståndstätheten

\rho(E)

ges av:

w_{f\leftarrow i} = \frac{2\pi}{\hbar}|\braket{f|H'|i}|^2_{E_i^0 \approx E_f^0}\cdot\rho(E_f^0)

\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\xi, \eta)|^2

f(\xi, \eta) = \frac m{2\pi\hbar^2}\int e^{i(\bm k_i - \bm k_f)\cdot \bm r} \cdot v(\bm r)\: d^3r

För sfäriskt symmetrisk potential:

f(\xi, \eta) = \frac{2m}{\hbar^2K}\int_0^{\infty}\sin(Kr)\cdot r\cdot v(r) dr, \quad\quad |K| = 2k\cdot\sin\left(\frac \xi 2\right)

Sfärisk lådpotential:

V(r) = \begin{cases} -V_0 & r \leq a \\ 0 & r > a \end{cases}

f(\xi, \eta) = -\frac{2mV_0}{\hbar^2}\cdot\frac{\sin(Ka) - Ka\cos(Ka)}{K^3}

Skärmad coulombpotential:

v(r) = -\frac A r\cdot e^{-\alpha r}

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{2mA}{\hbar^2\left(\alpha^2 + 4k^2\sin^2(\xi/2)\right)}\right)^2

\sigma = \left(\frac{Am}{\hbar^2}\right)^2\frac{16\pi}{\alpha^2\left(\alpha^2 + 4k^2\right)}

\textup{När}\; \alpha \rightarrow 0,\quad \frac{d\sigma}{d\Omega} \rightarrow \left(\frac{Am}{\hbar^2}\right)^2\frac 1{4\left(k\sin(\xi/2)\right)^4}

V(x) = \begin{rcases} 0 & n(a + b) < x < n(a + b) + a \\ V_0 & n(a + b) + a < x < (n + 1)(a + b) \end{rcases}

Kontinuitetskrav:

\cos k_1a\cdot\cos k_2b - \frac{k_1^2 +k_2^2}{2k_1k_2}\sin k_1a\cdot\sin k_2b = \cos(k(a + b)), \quad V_0 < E

\cos k_1a\cdot\cosh \kappa b - \frac{k_1^2 +\kappa^2}{2k_1\kappa}\sin k_1a\cdot\sinh \kappa b = \cos(k(a + b)), \quad V_0 < E

Fas- och grupp hastighet:

v_f = \frac \omega k, \quad v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{dE}{dp}

Effektiva massan:

m^* = \left(\frac 1{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}\right)^{-1}